Preview

Информатика и образование

Расширенный поиск
Доступ открыт Открытый доступ  Доступ закрыт Только для подписчиков

Новый взгляд на бесконечно большие и бесконечно малые величины: методологические основы и практическое использование этих чисел в вычислениях на компьютере

https://doi.org/10.32517/0234-0453-2021-36-8-5-22

Полный текст:

Аннотация

В статье описывается недавно предложенная методология, позволяющая работать с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами на компьютере. Подход использует ряд идей, сближающих его с современной физикой, в частности, обсуждаются относительность математического знания и его зависимость от инструментов, используемых математиками в своих исследованиях. Показывается, что появление новых вычислительных инструментов влияет на то, как мы воспринимаем традиционные математические объекты, а также помогает обнаружить новые интересные объекты и задачи. Приводятся аргументы, указывающие, что многие сложности и парадоксы, возникающие при работе с бесконечностью, не зависят от ее природы, а являются результатом слабости традиционных систем записи чисел, применяемых для работы с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Предлагается система счисления, позволяющая не только работать с ними аналитически более простым и интуитивным способом, но и производить практические вычисления на Компьютере Бесконечности, запатентованном в ряде стран. Даются примеры измерения бесконечных множеств с точностью до одного элемента и показывается, что новая методология позволяет избежать появления некоторых известных парадоксов, связанных с бесконечностью. Приводятся примеры решения ряда вычислительных задач и обсуждаются некоторые результаты преподавания описываемой методологии в Италии и Великобритании.

Об авторе

Я. Д. Сергеев
Университет Калабрии; Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
Италия

Сергеев Ярослав Дмитриевич, доктор физ.-мат. наук, выдающийся профессор, директор лаборатории численного анализа, Университет Калабрии, г. Козенца; профессор кафедры математического обеспечения и суперкомпьютерных технологий, Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Нижний Новгород



Список литературы

1. Лапчик М. П., Рагулина М. И., Хеннер Е. К. Эволюция математического образования в условиях информатизации: обзор тенденций и результатов. Наука о человеке: гуманитарные исследования. 2020;14(3):71–79. DOI: 10.17238/issn1998-5320.2020.14.3.8

2. Носков М. В., Попова В. В. Реализация межпредметных связей математики и информатики в современном учебном процессе. Вестник Красноярского государственного педагогического университета им. В. П. Астафьева. 2015;(1(31)):65–68.

3. Лапчик М. П. Теоретические и организационные вопросы информатизации школьного и педагогического образования. Современные проблемы информатизации образования. Омск; 2017. С. 43–110.

4. Григорьев С. Г., Гриншкун В. В. Подготовка магистров по программе «Информационные технологии в образовании» в МГПУ — новое направление, новые возможности. Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Информатизация образования. 2013;(2):5–13.

5. Григорьев С. Г., Подболотова М. И. Моделирование углубленной профессионально-ориентированной практики магистрантов в условиях модульного обучения и сетевого взаимодействия по направлению подготовки «Педагогическое образование». Вестник Московского городского педагогического университета. Серия: Информатика и информатизация образования. 2015;(2(32)):8–25.

6. Белова Т. В. О совершенствовании методики преподавания дисциплины «Математика и информатика» за счет использования межпредметных связей. Вестник Московского городского педагогического университета. Серия: Информатика и информатизация образования. 2006;(7):25–28.

7. Сафонов В. И. Подготовка учителей к преподаванию математики с использованием методов информатики. Электронное обучение в непрерывном образовании — 2018. V Международная научно-практическая конференция. 2018. С. 686–690.

8. Пардала А. Информатизация математического образования: дидактические возможности, опыт и зарубежные тенденции. Информатика и образование. 2019;34(6):49–55. DOI: 10.32517/0234-0453-2019-34-6-49-55

9. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург; 2004. 608 с.

10. Гергель В. П. Теория и практика параллельных вычислений. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний; 2017. 423 с.

11. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. М.: Мир; 2006. 824 с.

12. Numerical Infinity and the Infinity Computer. Available at: https://www.theinfinitycomputer.com

13. Lolli G. Infinitesimals and infinites in the history of mathematics: A brief survey. Applied Mathematics and Computation. 2012;218(16):7979–7988. Available at: https://www.theinfinitycomputer.com/wp-content/uploads/2020/11/Lolli_paper.pdf

14. Lolli G. Metamathematical investigations on the theory of grossone. Applied Mathematics and Computation. 2015;255:3–14. Available at: https://www.theinfinitycomputer.com/wp-content/uploads/2020/11/Lolli_2_web.pdf

15. Margenstern M. Using grossone to count the number of elements of infinite sets and the connection with bijections. p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications. 2011;3(3):196–204. Available at: https://www.theinfinitycomputer.com/wp-content/uploads/2020/11/MM_bijection.pdf

16. Montagna F., Simi G., Sorbi A. Taking the Pirahã seriously. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2015;21(1-3):52–69. Available at: https://www.theinfinitycomputer.com/wp-content/uploads/2020/11/Sorbi_web.pdf

17. Rizza D. A study of mathematical determination through Bertrand’s Paradox. Philosophia Mathematica. 2018;26(3):375–395. DOI: 10.1093/philmat/nkx035. Available at: https://academic.oup.com/philmat/article/26/3/375/4753688

18. Sergeyev Ya. D. Numerical infinities and infinitesimals: Methodology, applications, and repercussions on two Hilbert problems. EMS Surveys in Mathematical Sciences. 2017;4(2):219–320. DOI: 10.4171/EMSS/4-2-3. Available at: https://www.theinfinitycomputer.com/wp-content/uploads/2020/11/EMSS_Sergeyev.pdf

19. Caldarola F., Cortese D., d’Atri G., Maiolo M. Paradoxes of the Infinite and Ontological Dilemmas Between Ancient Philosophy and Modern Mathematical Solutions. Lecture Notes in Computer Science. 2020;(LNCS 11973):358–372. Available at: https://www.theinfinitycomputer.com/wpcontent/uploads/2020/11/Caldarola_Paradoxes_2020.pdf

20. Antoniotti L., Caldarola F., d’Atri G., Pellegrini M. New approaches to basic calculus: An experimentation via numerical computation. Lecture Notes in Computer Science. 2020;(LNCS 11973):329–342. Available at: https://www.theinfinitycomputer.com/wp-content/uploads/2020/11/Antoniotti_et_al_2020.pdf

21. Ingarozza F., Adamo M. T., Martino M., Piscitelli A. A grossone-based numerical model for computations with infinity: A case study in an Italian high school. Lecture Notes in Computer Science. 2020;(LNCS 11973):451–462. Available at: https://www.theinfinitycomputer.com/wp-content/uploads/2020/11/Ingarozza_et_al_2020.pdf

22. Iannone P., Rizza D., Thoma A. Investigating secondary school students’ epistemologies through a class activity concerning infinity. Proc. 42nd Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education. 2018;3:131–138. Available at: https://www.researchgate.net/publication/326353757_INVESTIGATING_SECONDARY_SCHOOL_STUDENTS_EPISTEMOLOGIES_THROUGH_A_CLASS_ACTIVITY_CONCERNING_INFINITY

23. Numerical Infinities. Available at: https://www. numericalinfinities.com

24. Robinson A. Non-standard analysis. Princeton University Press; 1996. 308 p.

25. Artigue M. Analysis. Advanced Mathematical Thinking (ed. D. Tall). NY, Springer; 1994. P. 167–198. DOI:10.1007/0-306-47203-1

26. Pepelyshev A., Zhigljavsky A. Discrete uniform and binomial distributions with infinite support. Soft Computing. 2020;24:17517–17524. DOI:10.1007/s00500-020-05190-2

27. Calude C. S., Dumitrescu M. Infinitesimal probabilities based on grossone. SN Computer Science. 2020;1:36. DOI: 10.1007/s42979-019-0042-8

28. D’Alotto L. Infinite games on finite graphs using grossone. Soft Computing. 2020;24:17509-17515. DOI:10.1007/s00500-020-05167-1

29. Rizza D. Numerical methods for infinite decisionmaking processes. International Journal of Unconventional Computing. 2019;14(2):139–158. Available at: https://www.theinfinitycomputer.com/wp-content/uploads/2020/11/ijuc.pdf

30. Fiaschi L., Cococcioni M. Numerical asymptotic results in Game Theory using Sergeyev’s Infinity Computing. International Journal of Unconventional Computing. 2018;14(1):1–25. Available at: https://arxiv.org/abs/1808.00738

31. Amodio P., Iavernaro F., Mazzia F., Mukhametzhanov M. S., Sergeyev Ya. D. A generalized Taylor method of order three for the solution of initial value problems in standard and infinity floating-point arithmetic. Mathematics and Computers in Simulation. 2017;141:24–39. Available at: https://www.theinfinitycomputer.com/wp-content/uploads/2020/11/gross_taylor.pdf

32. Iavernaro F., Mazzia F., Mukhametzhanov M. S., Sergeyev Ya. D. Computation of higher order Lie derivatives on the Infinity Computer. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2021;383:113135, DOI: 10.1016/j.cam.2020.113135

33. De Cosmis S., De Leone R. The use of grossone in mathematical programming and operations research. Applied Mathematics and Computation. 2012;218(16):8029–8038. Available at: https://www.theinfinitycomputer.com/wp-content/uploads/2020/11/Renato_final.pdf

34. Lai L., Fiaschi L., Cococcioni M. Solving mixed Pareto-lexicographic multi-objective optimization problems: The case of priority chains. Swarm and Evolutionary Computation. 2020;55:100687. Available at: https://www.theinfinitycomputer.com/wp-content/uploads/2020/11/Lai_et_al2020.pdf

35. Сочков А. Л. Философские аспекты новейшей арифметики бесконечности. Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. Серия: Социальные науки. 2009;(3(15)):72–77.

36. Caldarola F. The Sierpinski curve viewed by numerical computations with infinities and infinitesimals. Applied Mathematics and Computation. 2018;318:321–328. DOI: 10.1016/j.amc.2017.06.024

37. Gordon P. Numerical cognition without words: Evidence from Amazonia. Science. 2004:306(15):496–499. DOI: 10.1126/science.1094492

38. Эверетт Д. Л. Не спи, кругом змеи! Быт и язык индейцев американских джунглей. М.: Языки славянских культур; 2016. 384 c.

39. Кронгауз М. А. Дэниел Эверетт и Бенджамин Уорф: лингвистические и нелингвистические параллели. Российский журнал когнитивной науки. 2018;5(1):14–21. Режим доступа: https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/direct/225302168.pdf

40. Кибрик А. А. Тирания чужого ума. Российский журнал когнитивной науки. 2018;5(1):27–36. Режим доступа: https://cogjournal.ru/5/1/pdf/KibrikRJCS2018.pdf

41. Comrie B. Numeral bases. The world atlas of language structures online. Leipzig: Max Planck Institute for Evolutionary Anthropology; 2013. Available at: http://wals.info/chapter/131

42. Pica P., Lemer C., Izard V., Dehaene S. Exact and approximate arithmetic in an Amazonian indigene group. Science. 2004;306(15):499–503.

43. Zhigljavsky A. Computing sums of conditionally convergent and divergent series using the concept of grossone. Applied Mathematics and Computation. 2012;218:8064-8076. DOI: 10.1016/j.amc.2011.12.034

44. Sergeyev Ya. D. Higher order numerical differentiation on the Infinity Computer. Optimization Letters. 2011;5(4):575–585. Available at: https://www.theinfinity-computer.com/wp-content/uploads/2020/11/Num_dif.pdf

45. Astorino A., Fuduli A. Spherical separation with infinitely far center. Soft Computing. 2020; 24:17751–17759. Available at: https://link.springer.com/article/10.1007/s00500-020-05352-2

46. Литвинов А. В., Иволина Т. В. Метакогниция: Понятие, структура, связь с интеллектуальными и когнитивными способностями (по материалам зарубежных исследований). Современная зарубежная психология. 2013;2(3):59–70. Режим доступа: https://psyjournals.ru/files/63502/jmfp_2013_3_n4_Litvinov.pdf


Рецензия

Для цитирования:


Сергеев Я.Д. Новый взгляд на бесконечно большие и бесконечно малые величины: методологические основы и практическое использование этих чисел в вычислениях на компьютере. Информатика и образование. 2021;(8):5-22. https://doi.org/10.32517/0234-0453-2021-36-8-5-22

For citation:


Sergeyev Y.D. A new look at infinitely large and infinitely small quantities: Methodological foundations and practical calculations with these numbers on a computer. Informatics and education. 2021;(8):5-22. (In Russ.) https://doi.org/10.32517/0234-0453-2021-36-8-5-22

Просмотров: 118


ISSN 0234-0453 (Print)
ISSN 2658-7769 (Online)