В статье описывается недавно предложенная методология, позволяющая работать с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами на компьютере. Подход использует ряд идей, сближающих его с современной физикой, в частности, обсуждаются относительность математического знания и его зависимость от инструментов, используемых математиками в своих исследованиях. Показывается, что появление новых вычислительных инструментов влияет на то, как мы воспринимаем традиционные математические объекты, а также помогает обнаружить новые интересные объекты и задачи. Приводятся аргументы, указывающие, что многие сложности и парадоксы, возникающие при работе с бесконечностью, не зависят от ее природы, а являются результатом слабости традиционных систем записи чисел, применяемых для работы с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Предлагается система счисления, позволяющая не только работать с ними аналитически более простым и интуитивным способом, но и производить практические вычисления на Компьютере Бесконечности, запатентованном в ряде стран. Даются примеры измерения бесконечных множеств с точностью до одного элемента и показывается, что новая методология позволяет избежать появления некоторых известных парадоксов, связанных с бесконечностью. Приводятся примеры решения ряда вычислительных задач и обсуждаются некоторые результаты преподавания описываемой методологии в Италии и Великобритании.